حل فعالیت و تمرین صفحه 9 ریاضی هشتم

این نمودارها، ارتباط بین تقسیم و کسر را به صورت تصویری نشان می‌دهند. در واقع، تقسیم یک عدد بر عدد دیگر، معادل با تقسیم کردن یک بردار (حرکت) به تعدادی بردارهای مساوی و کوچک‌تر است. - **تساوی اول:** $ +۲ \div ۳ = +\frac{۲}{۳} $ در محور بالا، یک حرکت کلی به اندازه $۲$ واحد به سمت راست (بردار قرمز بلند) نشان داده شده است. این حرکت به **۳** حرکت مساوی و کوچک‌تر (بردارهای قرمز کوتاه‌تر) تقسیم شده است. اندازه هر یک از این حرکت‌های کوچک، حاصل تقسیم حرکت کلی بر تعداد آن است، یعنی $۲ \div ۳$ که برابر با کسر $ \frac{۲}{۳} $ می‌باشد. شکل نشان می‌دهد که با ۳ بار حرکت به اندازه $ \frac{۲}{۳} $، به عدد $۲$ می‌رسیم. - **تساوی دوم:** $ -۳ \div ۴ = -\frac{۳}{۴} $ در محور پایین، یک حرکت کلی به اندازه $۳$ واحد به سمت چپ (بردار آبی از ۰ تا $-۳$) داریم. این حرکت به **۴** قسمت مساوی (بردارهای سبز) تقسیم شده است. اندازه هر قسمت برابر با $ -۳ \div ۴ $ یا کسر $ -\frac{۳}{۴} $ است. جهت بردارهای سبز به سمت چپ (منفی) است که علامت منفی در کسر را توجیه می‌کند.

**پاسخ سوال ۱:** **بله**، هر عدد صحیح و هر عدد طبیعی یک عدد گویا است. **چرا؟** زیرا تعریف عدد گویا این است که بتوان آن را به صورت کسر $ \frac{p}{q} $ نوشت، به طوری که $p$ و $q$ اعداد صحیح باشند و $q$ مخالف صفر باشد. هر عدد صحیح مانند $n$ را می‌توان به صورت $ \frac{n}{۱} $ نوشت. برای مثال، عدد $۵$ برابر با $ \frac{۵}{۱} $ و عدد $-۳$ برابر با $ \frac{-۳}{۱} $ است. چون اعداد طبیعی نیز زیرمجموعه‌ای از اعداد صحیح هستند، این قانون برای آنها نیز صادق است. **پاسخ سوال ۲:** برای وصل کردن کسرها، باید به علامت نهایی هر کسر توجه کنیم. در یک کسر، فرقی نمی‌کند علامت منفی در صورت، در مخرج یا کنار کل کسر باشد. همچنین، حاصل تقسیم دو عدد منفی، عددی مثبت است. - $ \frac{-۳}{-۴} $ (منفی تقسیم بر منفی، مثبت است) $ \implies $ وصل می‌شود به $ \frac{۳}{۴} $. - $ \frac{۳}{-۴} $ (مثبت تقسیم بر منفی، منفی است) $ \implies $ وصل می‌شود به $ -\frac{۳}{۴} $. - $ \frac{-۳}{۵} $ (منفی تقسیم بر مثبت، منفی است) $ \implies $ وصل می‌شود به $ -\frac{۳}{۵} $. - $ \frac{-۳}{-۵} $ (منفی تقسیم بر منفی، مثبت است) $ \implies $ وصل می‌شود به $ \frac{۳}{۵} $.

برای نوشتن کسر مساوی، از قوانین مربوط به علامت‌ها در تقسیم استفاده می‌کنیم. - **نمونه ۱:** $ \frac{۳}{-۵} = -\frac{۳}{۵} $ (علامت منفی از مخرج به کنار کسر منتقل شده است.) - **نمونه ۲:** $ -\frac{-۲}{۳} = -(-\frac{۲}{۳}) = \frac{۲}{۳} $ (تقسیم عددی منفی بر مثبت، منفی است و با ضرب در منفی پشت کسر، مثبت می‌شود.) - **سوال ۱:** $ -\frac{۳}{-۴} $ ابتدا کسر داخل پرانتز را در نظر می‌گیریم: $ \frac{۳}{-۴} $ برابر است با $ -\frac{۳}{۴} $. حالا با در نظر گرفتن منفی پشت کسر، داریم: $ -(-\frac{۳}{۴}) = +\frac{۳}{۴} $ - **سوال ۲:** $ -\frac{-۴}{۷} $ کسر $ \frac{-۴}{۷} $ برابر است با $ -\frac{۴}{۷} $. حالا با در نظر گرفتن منفی پشت کسر، داریم: $ -(-\frac{۴}{۷}) = +\frac{۴}{۷} $

برای کامل کردن جدول، ابتدا هر عدد را ساده می‌کنیم و سپس نوع آن را (طبیعی، صحیح، گویا) مشخص می‌کنیم. - **اعداد طبیعی (N):** $ \{۱, ۲, ۳, ...\} $ - **اعداد صحیح (Z):** $ \{..., -۱, ۰, ۱, ...\} $ - **اعداد گویا (Q):** اعدادی که به صورت کسر $ \frac{p}{q} $ قابل نمایش هستند (شامل همه اعداد صحیح و طبیعی). **بررسی اعداد:** - $ -(-(+۴)) = ۴ $: طبیعی، صحیح، گویا - $ -\frac{۶}{۲} = -۳ $: صحیح، گویا - $ \sqrt{۹} = ۳ $: طبیعی، صحیح، گویا - $ -\frac{۲}{۳} $: گویا - $ ۰ $: صحیح، گویا - $ \frac{۳}{۵} $: گویا - $ -\frac{-۸}{-۲} = -(\frac{۸}{۲}) = -۴ $: صحیح، گویا - $ -\frac{۴}{-۲} = -(-۲) = ۲ $: طبیعی، صحیح، گویا - $ \frac{-۱}{۵^۲} = -\frac{۱}{۲۵} $: گویا - $ -\frac{۱۲}{-۴} = -(-۳) = ۳ $: طبیعی، صحیح، گویا **جدول کامل شده:** | عدد | $ -(-(+۴)) $ | $ -\frac{۶}{۲} $ | $ \sqrt{۹} $ | $ -\frac{۲}{۳} $ | $ ۰ $ | $ \frac{۳}{۵} $ | $ -\frac{-۸}{-۲} $ | $ -\frac{۴}{-۲} $ | $ \frac{-۱}{۵^۲} $ | $ -\frac{۱۲}{-۴} $ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **طبیعی** | ✓ | | ✓ | | | | | ✓ | | ✓ | | **صحیح** | ✓ | ✓ | ✓ | | ✓ | | ✓ | ✓ | | ✓ | | **گویا** | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |

برای حل این مسائل، ابتدا با توجه به تعداد علامت‌های منفی، علامت نهایی عبارت را مشخص می‌کنیم. سپس، با تجزیه اعداد و ساده کردن عوامل مشترک، حاصل را به دست می‌آوریم. - $ -\frac{۱۰ \times (-۲)}{-۷ \times ۲۵} $ **تعیین علامت:** در صورت یک منفی و در مخرج یک منفی وجود دارد ($ \frac{-}{-} = + $). با احتساب منفی پشت کسر، علامت نهایی **منفی** است. **ساده کردن:** $ -\frac{۱۰ \times (-۲)}{-۷ \times ۲۵} = -\frac{۱۰ \times ۲}{۷ \times ۲۵} = -\frac{(۲ \times ۵) \times ۲}{۷ \times (۵ \times ۵)} = -\frac{۲ \times ۲}{۷ \times ۵} = -\frac{۴}{۳۵} $ - $ \frac{۸ \times ۱۸}{۱۲ \times ۱۶} $ **تعیین علامت:** همه اعداد مثبت هستند، پس علامت نهایی **مثبت** است. **ساده کردن:** $ \frac{۸ \times ۱۸}{۱۲ \times ۱۶} = \frac{۸ \times (۲ \times ۹)}{(۳ \times ۴) \times (۲ \times ۸)} = \frac{۱۸}{۱۲ \times ۲} = \frac{۱۸}{۲۴} = \frac{۳}{۴} $ - $ \frac{-۸ \times (-۱۸)}{۱۲ \times ۱۶} $ **تعیین علامت:** در صورت دو علامت منفی وجود دارد ($ - \times - = + $). مخرج مثبت است. پس علامت نهایی **مثبت** است. **ساده کردن:** مقادیر عددی این عبارت مشابه عبارت قبلی است. $ \frac{۸ \times ۱۸}{۱۲ \times ۱۶} = \frac{۳}{۴} $